دفترچه

آشنایی با ریاضیات و تعامل با آن، در ذات ، اساسی‌ترین شرط برای ورود و چیرگی به هر علمی‌ست . ریاضیات شاخص‌ترین نوع دانش محض و انتزاعی است.آشنایی با علم ریاضیات اگرچه ضروری است، اما آشنایی با تاریخ ریاضیات بسیار جذاب و عبرت‌اموز است؛ به خصوص که در این حوزه گاه گاه به نابغه‌هایی چون لایب‌نیتز و برنولی و یا صاحب عکسِ آواتارِ من برمیخوریم چنانکه در دیگر شاخه‌های علوم بینظیر یا کم‌نظیرند.علاوه بر این کمتر فیلسوفی هست که به ریاضیات به طور تخصصی تسلط نداشته باشد.تعدادی از آنها که در ذهنم هستند : فیساقورس،تالس،افلاتون،ارستو، دکارت،لایب‌نیتز،توماس هابز،باروخ اسپینوزا،امانوئل کانت،برتراند راسل و... (برخی از اینان بیش از اینکه فیلسوف باشند ، ریاضی‌دان هستند مثل پاسکال و نیوتون و برخی دیگر فیلسوفانی هستند که به ریاضیات نیز نگاهی ویژه دارند مثل اسپینوزا و برخی دیگر چنان‌اند که نمیتوان گفت که ریاضیدان هستند یا فیلسوف مثل برتراند راسل؛ و همین به خودیِ خود نشان از رابطه بی‌بدیل ریاضیات با فلسفه دارد).
روزگاری ریاضیات صرفا سروکله زدن با اعداد بود و یافتن نسبت‌ها میان آنها. از سالهای 1600 ریاضیات وارد عرصه‌هایی شد و چنان پیشرفتهایی کرد که تسلط و چیرگی بر هریک از زیرشاخه‌های(نه شاخه‌ها) این علم نیز سالها کار میبرد.
در این جستار سعی من بر این است که برای خوانندگان مطالبی منظم، پیوسته و وابسته بهم برای آشنایی با تاریخ این علم گرد‌آوری کنم.منبع نخستین من کتاب « آشنایی با تاریخ ریاضیات » نوشته :هاوارد دبلیو.ایوز(Howard W. Eves) ؛ ترجمه دکتر محمدقاسم وحیدی‌اصل است.این کتاب دوجلد است و از طرف مرکز نشر دانشگاهی منتشر شده است.در واقع ساختار این جستار بر اساس همین کتاب است ، اما در حین نگارش و تنظیم مطالب، بی‌شک از منابع دیگر نیز استفاده خواهم کرد.
امید است مفید واقع شود.

Dariush نوشته: مهربدجان زحمتی بکش و نام جستار «تاریخ ریاضیات» را که به تازگی احداث شده به پارسی برگردان.
سپاس.

انجام شد.

در پارسی دانستنی است که واژه‌یِ مزداهیک - Mazdâhik (یا برابر امروزین‌تر آن اِنگارش {از انگاشتن}) نیز خود به چَم خردورزی و اندیشه‌یِ والا میباشد.

ساختار واژه‌:

«مزدا» چمی برابر با آگاهی و دانایی دارد و در گذشته کسانیکه مزداهیک میآموخته‌اند را همتراز با فیلسوفان و اندیشمندان امروزین میدیده‌اند.

مزدا در اوستا به چم دانایی و خرد نیز آمده که در واژه‌یِ اهورامزدا (آفریدگار دانا) داریم اش.

به نطر میاد یکی از دلایل استحکام و پیشرفت های بدون وقفه ریاضیات این باشه که زیاد با داده هایی تجربی و آزمایش سروکار نداره و معمولا با بدیهیات کارش رو انجام میده:)

Mehrbod نوشته: انجام شد.

«افمارش» هم گزینه‌ی خوبی‌ست ! :))

مهربدجان اکنون که گفتمان بروی مزداهیک و "انتزاع کردن" است همینجا من یک پراتز باز کنم ،
چندی پیش با یکی از دوستانم پیرامون "مفاهیم انتزاعی" گفتمان می‌کردیم سرانجام آگاه شدم
که در دریافت چم "مفهوم انتزاعی" دشواری دارم ! :))

باشندگان ویری (ذهنی) رویهم رفته (بطور فراگیر) چهار دسته‌اند :

1. باشندگانی که در جهان بیرون همتای راستین دارند ؛ مانند پنداره‌ی «Dariush» در ویر (ذهن) من
که سرراست به داریوش گرامی لینک می‌شود ، یا برای نمونه برج میلاد و ... که همتای بیرونی دارند !

2. باشندگانی که همتای بیرونی ندارند ؛ ولی یک گام به هستی نزدیک‌ترند ، چون زابی (صفتی)
هستند که در جهان بیرون یافت می‌شوند و با "انتزاع کردن" پدید آمده‌اند ، مانند پرهون (دایره) که
با دیدن گردی پیکره‌ها انتزاع شده است ؛ و یا رج و تیل و شمارک و ... (خط و نقطه و عدد و ...)

3. باشندگانی که "تجریدی و کلی" اند که از ویژگی‌های هنباز (مشترک) و همسان پدیده‌ها برآمده‌اند ؛
مانند پنداره (مفهوم) «پرنده» که یک واژه و فروزه‌ی فراگیر برای همه‌ی گونه‌هایی از این جنس (پرنده)
است !

4. باشندگان ویری بی‌همتا ؛ که از آمایش (ترکیب) پنداره‌های ویری و فانتزی بدست آمده‌اند ، مانند
غول چراغ جادو ، سیندرلا و ...

اکنون پرسش من این است که جز پنداره‌های ریاضی (دایره و...) چه پنداره‌های دیگری آشکارا
"انتزاعی‌" هستند ؛ یعنی بروی‌همرفته این فرآیند "انتزاع کردن" دقیقاً چه فرآیندی‌ست ؟

برای نمونه پنداره‌ی «هنر» آیا ابستره و انتزاعی‌ست ؟ اگرنه در کدام دسته جای می‌گیرد ؛

Dariush نوشته:

.‌‌البته در پیشرفت وقفه هم داشته . اما در کل هرگز چراغش خاموش نمانده و همیشه ریاضی‌دانان سرآمدانِ عصر خویش بودند

خب نکته اینجاست که بسیاری از بخش های باستانی ریاضیات چندین هزار سال هم دوام آوردند ولی در هیچ دانشی نمیشه چنین چیزی رو مشاهده کرد،حتی یک دانش قوی و به نسبت قابل اطمینان مثل فیزیک نسبت به ریاضیات ناپایدار به نطر میرسه:)

Alice نوشته: «افمارش» هم گزینه‌ی خوبی‌ست ! :))

مهربدجان اکنون که گفتمان بروی مزداهیک و "انتزاع کردن" است همینجا من یک پراتز باز کنم ،
چندی پیش با یکی از دوستانم پیرامون "مفاهیم انتزاعی" گفتمان می‌کردیم سرانجام آگاه شدم
که در دریافت چم "مفهوم انتزاعی" دشواری دارم ! :))

...

به نگر من این پیچیدگی‌ها را ندارد, فرایند آهَنجیدن (انتزاع کردن, to abstract) همان آینه برداری (و دیرتر پردازش داده‌هایِ آینه شده) از فربود (جهانِ بیرونی) است.

Alice نوشته: اکنون پرسش من این است که جز پنداره‌های ریاضی (دایره و...) چه پنداره‌های دیگری آشکارا
"انتزاعی‌" هستند ؛ یعنی بروی‌همرفته این فرآیند "انتزاع کردن" دقیقاً چه فرآیندی‌ست ؟

پرهون (دایره), سه‌گوش و .. از یک نگاه خوب همگی آهنجیک (abstract) هستند, زیرا در
فربود همپتوازی (correspondence, hampatvâzi) ندارند, در جهان شما هرگز یک رَژ راست نمیابید, کمابیش
همه‌یِ رژها ناراست و کژ و کوله و jagged هستند, ولی پنداره‌یِ رژی که ما در ذهنمان آهنجیده‌ایم همیشه راستِ ١٠٠% است.

Alice نوشته: برای نمونه پنداره‌ی «هنر» آیا ابستره و انتزاعی‌ست ؟ اگرنه در کدام دسته جای می‌گیرد ؛

هنر که هنوز تعریف نشده: شناخت «هنر»

تعریف کنید تا بگوییم چیست (:

ولی همین هنر تعریف نشده خودش میشود یک پنداره, آهنج بودن و نبودنش ولی روشن نیست.

از این دیدگاه هم میتوان نگریست که همه‌یِ پنداره‌هایِ شناسش (cognition) و مغزی از دم آهنج هستند, زیرا یکی از زاب‌هایِ مهادین آهنجش گفتیم
کاهش (فشرده‌پذیری) است و از آنجاییکه همه‌یِ اندیشه‌هایِ ما مانندِشِ (simulation) کاسته شده از از فربود میباشند, پس همگی آهنجیک نیز خواهند بود: اندیشه شناسی



پ.ن.
برای پنداره (concept) در پارسیک ما دوواژه داریم, یکی خود پنداره که همان داده‌یِ آهنجیک از پرگیر باشد, یکی فرایافت که پنداره‌هایِ آموده باشند: اسپ تک‌شاخ (unicorn) یا اژدها.

undead_knight نوشته: به نطر میاد یکی از دلایل استحکام و پیشرفت های بدون وقفه ریاضیات این باشه که زیاد با داده هایی تجربی و آزمایش سروکار نداره و معمولا با بدیهیات کارش رو انجام میده:)

کارکرد مزداهیک از ریشه اینه که کاری هم نداشته باشد و تنها یک دستگاه مانندِش (simulation) برای ما باشد! (:

من این نگرش ساده‌یِ «نسیم طالب» که خودش مزداهیک‌دان است را میپسندم:


مزداهیک را باید بمانند ژرف‌اندیشی (meditation) به کار برد, به اندیشه راستا بدهد, که خودش دربرگیرنده‌یِ همه اینها و بسیاری دیگر میشود:


افمار - Arithmetic

Alice نوشته: «افمارش» هم گزینه‌ی خوبی‌ست ! :))

افمارش (afmâreš) میشود "حساب و کتاب" یا Calculation.

این دانش کهنترین شاخه‌یِ مزداهیکه که کارش بازی با شمارگان و همان اوپراتورهای چهارگانه باستانی و نوتر امروزین است.


رایانش - Computation

رایانش دنباله‌روی افمار است که کارکرد مهادین آن در «پردازش داده‌ها» کوتاه میشود.
خوارزم‌ها (algorithms) برای نمونه زیردسته‌یِ رایانش میروند: گام‌به‌گامیِ انجامِ یک فرایند



فرنودسار - Logic

این هم که دیگر نیازی به آشنا کردن ندارد (:

1-روشهای ابتدایی عددنویسی و شمارش (بخش نخست)
مسلما انسانها از همان روزهای نخستین حضورشان با شمارش و مفاهیم «کم و بیش» آشنا بودند . چنانکه هم اکنون نیز ثابت شده که بسیاری از حیوانات کم و بیش را درک میکنند . با تکامل تدریجی جوامع نیاز به حساب و کتاب‌های پیشرفته‌تر ضروری شد . چرا که هر قبیله باید تعداد اعضایش را میدانست و همچنین شمار دشمنانش را . یا اینکه هر فرد باید میدانست که گله گوسفندانش در حال افزایش است یا کاهش . ساده‌ترین روش شمارش احتمالا همان روش چوب‌خط بود که تناظری یک‌به ‌یک بین موجودیت ها و تعداد چوب‌ها برقرار میکرد.نگهداشتن حساب با دسته کردن سنگریزه‌ یا چوب، با کشیدن شیارهایی روی گل یا سنگ ، با کندن دندانه‌هایی بر یک قطعه چوب ، با زدن گره‌هایی بر یک نخ ، میسر بود . از این رو و شاید بعدها ، ترکیبی از اصوات زبانی به عنوان یک چوبخط صوتی در قبال شماره‌ی اشیای موجود در یک گروه کوچک پدید آمده است . و زمانی بعدتر ، با بهبود در کار نوشتن ، ترکیبی از علائم برای نمایش این اعداد تکوین یافته‌اند. این سیر تکوین تخیلی را گزارشهای مطالعات انسان‌شناسان در اقوام بدوی امروزی تایید میکند.




دو منظر از استخوان ایشانگو (Ishango bone) که متجاوز از 8000 سال قدمت دارد ، بر ساحل دریاچه ادوارد در زئیر (کنگو) پیدا شده و اعدادی را نشان میدهد که با کندن دندانه‌هایی بر استخوان ثبت گردیده است.(دکتر دو هاینتسلین)



در این صفحه را ببینید که چگونه بومیان پرو و آمریکا از کیپو (quipo) برای شمارش استفاده میکردند: quipu | Tumblr
و همچنین : Quipu - Wikipedia, the free encyclopedia

وقتی انجام شمارشهای وسیعتر لازم گردید، لازم بود عمل شمارش به صورت منسجمی درآید.این کار با مرتب کردن اعداد در گروه‌‌‌های پایه‌ای مناسب انجام شد که اندازه‌ی گروه‌ها عمدتا با عمل تطابق به کار گرفته شده معین میگردید . به بیانی ساده‌تر ، روش مزبور چنین بود : عدد b را به عنوان پایه‌ی شمارش (که مبنا یا مقیاس نیز خوانده می‌شود) انتخاب میشد و نامهایی به اعداد 1،2، ... ، b داده میشد.سپس نامهای اعداد بزرگتر از b ، اساسا با ترکیب نماهای اعدادی که قبلا انتخاب شده بود تعیین میشد.

از آنجا که انگشتان انسان چنین وسیله بسیار آسانی را برای تطابق در اختیار قرار میدهد ، تعجب‌آور نیست که نهایتا 10 در غالب موارد به عنوان پایه‌ی b انتخاب شده است . برای مثال ، کلمه‌های عددی امروزی انگلیسی را در نظر بگیرید که بر اساس انتخاب 10 به عنوان پایه ساخته شده‌اند.ما اسامی خاص one , two ,… را برای اعداد 1،2 ،... به کار میبریم.وقتی به یازده میرسیم میگوییم eleven که بنا به گفته زبان‌شناسان از ein lif on به معنی «یکی باقیمانده» یا یک روی ده گرفته شده است.

علاوه بر سیستم دهدهی ، گزارش‌هایی از مبناهای دودویی،پنج‌تایی، دوازده‌تایی، بیست بیستی و شصت شصتی نیز در دست هست.مثلا تا سالهای 1800 ، دهقانهای آلمانی در تقویم‌های خود از سیستم پنج پنجی استفاده میکردند.سیستم بیست‌بیستی یادآور روزهای پابرهنگی انسان است و به طور وسیعی توسط قبایل بدوی آمریکایی از قبیل مایاها استفاده میشده است.همچنین بابلی ها به طور گسترده از روش شصت شصتی استفاده میکردند .

پس از این ، روشهای گروه‌بندی رواج یافتند که در آنها اعداد را به توانهای مختلف میبردند.مثلا در مصر دو نمایش مختلف برای نمایش گروه‌بندی استفاده میشده : خط هیراتی [خط کاهنان] که از خطوط هیروگلیفی مشتق شده بود و مورد استفاده روحانیت بود . بعد از هیراتی، خط دموتی [خط عوام] پدید آمد، که کاربرد همگانی یافت . دستگاه‌های شمار هیراتی و دموتی از نوع گروه‌بندی ساده نیستند.
دستگاه شمار هیروگلیفی مصری مبتنی بر پایه ده است.علایم اختیار شده برای 1 و چند توان 10 چنین‌اند:

بابلیان قدیم که پاپیروس نداشتند و به سنگهای مناسب دسترسی کمی داشتند ، برای نوشتن عمدتا از گل رس استفاده میکردند . آنان کتیبه را به وسیله فشردن قلمی ، که نوک آن به شکل متساوی‌الساقین تیزی بود، بر یک لوح گل رس مرطوب نقش میکردند . با کج کردن قلم از حالت قائم ، این امکان وجود داشت که زاویه رأس یا زاویه‌ی مجاور به قاعده مثلث متساوی‌الساقین بر گل رس نقش شود که بدین ترتیب دو نوع نشانه گوه-شکل (میخی) به وجود می‌آمد. سپس لوح در کوره‌ای پخته میشد تا به درجه‌ای از سختی برسد که در مقابل گذشت زمان مقاوم و به یک سند دائمی بدل شود. بر روی لوحهای میخی که به فاصله زمانی 2000 ق.م تا 200 ق.م تعلق دارند ، اعداد کوچکتر از 60 به کمک دستگاه گروه بندی ساده‌ای به پایه 10 بیان شده‌اند ، و جالب آنکه عمل نوشتن اغلب با استفاده از علامت تفریق ساده شده است. علامت تفریق و علایم بکار رفته برای 1 و 10 به ترتیب از چپ به راست عبارتند از :

[ATTACH=CONFIG]1486[/ATTACH]
که در آن علامت به کار رفته برای 1 و دوقسمتی که علامت تفریق را میسازند با استفاده از زاویه رأس مثلث متساوی‌الساقین به دست آمده‌اند ، و علامت به کار رفته برای 10 با استفاده از یکی از زوایای مجاور به قاعده حاصل شده است . به عنوان مثالهایی از اعداد نوشتاری که از این علایم در آنها استفاده شده ، داریم :
[ATTACH=CONFIG]1487[/ATTACH]

شمارهای آتیکی (Attic )، یا هرودینی زمانی پیش از قرن سوم قبل از میلاد ظهور یافتند و دستگاه گروه‌بندی ساده‌ای بر مبنای 10 تشکیل میدهند که از حروف اول نامهای عددی ساخته شده‌اند.علاوه بر علایم I ، ∆ ، H، X ، M برای 1 ، 10، 2^10 ، 3^10 ، 4^10 علامت خاصی باری 5 وجود دارد. این علامت خاص شکلی قدیمی از π است ، که حرف اول کلمه پنته (pente {پنج}) است ، و ∆ حرف نخست دکا( deka {ده}) یونانی است . سایر علایم را نیز میتوان به همین نحو توضیح داد . از علامت به کار رفته برای 5 ، اغلب هم به طور منفرد و هم در ترکیب با سایر علائم استفاده میشد تا نمایش عددی کوتاهتر شود. به عنوان مثال در این دستگاه شما داریم:
2857 =ХХГHHHГГ
که در آن می‌توان علامت خاص برای 5 را که یک‌بار تنها و دوبار در ترکیب با سایر علائم ظاهر شده تشخصی داد.

یکی از روشهای عددنویسی آشنا برای ما، عددنویسی به روش رومی است.در گذشته‌های دور ، علائم اصلی I،X،C،M برای 1 ، 10 ، 2^ 10 ، 3^10 ، علایم V ، L و D برای 5 ، 50 و 500 افزوده میشوند . اصل تفریق ، که مطابق آن ، وقتی علامتی برای واحد کوچکتر قبل از علامت بکار رفته برای واحد بزرگتر قرار گیرد ، معنی تفاضل این دو واحد را دارد ، فقط به ندرت در دوره‌‌های باستان و میانه بکار میرفت. استفاده کاملتر از این اصل در اعصار جدیدتر معمول گردید . به عنوان مثال ، در این دستگاه داریم
1944= MDCCCCXXXXIIII
یا در اعصار جدیدتر با متداول شدن اصل تفریق :
1944=MCMXLIV
در کوششهایی که برای توضیح ریشه‌های دستگاه اعداد رومی میشود، حدس و گمان نیز وجود دارد. یکی از توضیحات موجه‌تر که مورد قبول عده‌ زیادی از صاحب نظران در تاریخ لاتین و علم کتیبه‌خوانی است، این است که I[I]، II، III، IIII از شکل انگشتان بلند شده گرفته شده‌اند. علامت X نیز ممکن است ترکیبی از دو V باشد یا شاید از شکل دستها یا انگشتان صلیب شده به ذهن راه یافته باشد ، یا شاید هم ناشی از این عادت رایج بوده باشد که موقع شمارش با پاره‌خطها ، خطی بر روی گروه‌های ده‌تایی میکشیدند.

دستگاه‌های شمار رمزی
در یک دستگاه شمار رمزی ، بعد از اینکه یک پایه b انتخاب گردید، علایمی برای
[ATTACH=CONFIG]1488[/ATTACH]
اختیار میشود. اگرچه در چنین دستگاهی علایم زیادی باید به حافظه سپرده شود ، نمایش اعداد در این روش فشرده است.
دستگاه شمار یونانی به اصطلاح یونیایی (ionic) ، یا الفبایی ، از نوع رمزی است و میتوان رد آن را تا 450 ق.م پیگیری کرد. این دستگاه در پایه 10 است و در آن از 27 نشانه - 24 حرف الفبای یونانی همراه با علایم حروف منسوخ دیگاما (digamma) ، کوپا (koppa) و سامپی (sampi) - استفاده میشود. گرچه در این دستگاه از حروف بزرگ استفاده میشد و حروف کوچک خیلی دیرتر جانشین آنها گردیدند ف در اینجا دستگاه را با حروف کوچک شرح خواهیم داد. این علایم باید به خاطر سپرده میشدند .
1 آلفا ɑ
2 بتا β
3 گاما γ
4 دلتا δ
5 اپسیلون ε
6 دیگاما (منسوخ)
7 زتا ζ
8 اتا η
9 تتا θ
10 یوتا ι
20 کاپا κ
30 لامبدا λ
40 مو μ
50 نو ν
60 کسی ξ
70 اومیکرون ο
80 پی π
90 کوپا (منسوخ)
100 رو ρ
200 سیگما σ
300 تاو τ
400 اپسیلون υ
500 فی φ
600 خی χ
700 پسی ψ
800 اومگا ω
900 سامپی (منسوخ)
به عنوان مثالهایی از موارد کاربرد این علایم ، داریم
12 = β ι
21 = ɑκ
274 = ζμσ
سایر دستگاه‌های شمار رمزی عبارتند از هیراتی و دموتی مصری ، قبطی ، هندی ، برهمایی ، عبری، سوری و عربی بدوی . سه تای آخری ، مانند یونانی یونیایی ، دستگاه‌های شمار رمزی الفبایی هستند.

---

[i] منسوب به هرودین (Herodian) ، صرف و نحودان یونانی که در حوالی سال 170 پیش از میلاد در رم دستور زبان درس میداد و یکی از آثار معروفش «قاموس زبان یونانی آتن» است.