دفترچه

محاسبات نخستین

بسیاری از الگوهای محاسبه که امروزه در حساب مقدماتی بکار میروند، تظیرِ آنها که برای انجام ضرب و تقسیم‌های طولانی مورد استفاده‌اند،در حوالی قرن پانزدهم ابداع شدند . معمولا دو دلیل برای توضیح این پیدایش دیررس اقامه میشود که عبارت‌اند از مشکلات ذهنی و مشکلات مادی.
به مورد اول، یعنی مشکلات ذهنی زیاد نباید توجه کرد. این گمان که هتا ساده‌ترین محاسبات در دستگاه‌های شمارِ قدیم عملی نیست ، عمدتا ناشی از ناآشنایی با این دستگاه‌هاست . روشن است که که جمع و تفریق در یک دستگاهِ گروه‌بندی ساده تنها نیازمندِ شمردنِ انواع مختلف علایم و سپس تبدیل آنها به واحدهای بالاتر است. در اینجا ضرورتی به از حفظ داشتنِ ترکیبهای عددی وجود ندارد. در دستگاه شمار رمزی ، اگر جداول جمع و ضرب به میزان کافی به حافظه سپرده شوند، کار را میتوان بسیار شبیه به آنچه که امروزه انجام میشود پیش برد. پل تانری (Paul Tannery) ریاضیدان فرانسوی مهارت زیادی در ضرب با دستگاه شمار یونیایی یونانی کسب کرده و هتا نتیجه گرفت که این دستگاه مزیتهایی بر دستگاه امروزی ما دارد.


با اینحال مشکلات مادی، وجود داشته و واقعیت کامل داشتند . عدم دسترسی به ماده‌ای چون کاغذ که بتوان روی آن نوشت، از مهمترین دلایل کندی پیشرفت حساب بود . توجه داشته باشید که کاغذِ امروزی که از خمیرِ چوب ساخته میشود، کمی بیش از یکسد سال قدمت دارد . کاغذ قدیمی‌تر با استفاده از پارچه کهنه با دست ساخته میشد و به همین دلیل گران و کمیاب بود. و هتا همین نوع کاغذ هم تا پیش از سال 1200 متداول نبود . اگرچه گفته میشود که چینی‌ها هزار سال قبل طرز ساختن آنرا میدانستند.
یک ماده قدیمی کاغذمانند برای نوشتن که پاپیروس نامیده میشد ، توسط مصریان قدیم اختراع و قبل از سال 650 ق.م در یونان معمول شده بود. پاپیروس از نوعی نی آبی به نام پاپو(Papu) ساخته میشد . روش ساختِ آن نیز تا نسبتا دشوار بود .
از دیگر وسیله‌های نوشتن، کاغذ پوستی بود . این کاغذ از پوست گوسفند یا بره ساخته میشد و معمولا به شدت گران و نایاب بود.به گونه‌ای که در قرون وسطا از کاغذهای پوستیِ استفاده شده در ادوارِ گذشته ، مجددا استفاده کنند.


راه خروج از این مشکلات ذهنی و مادی، اختراع چرتکه بود که می‌توان آن‌را قدیمی‌ترین ابزارِ مکانیکی برای محاسبه خواند که به دست نوع بشر به‌کار رفته است . چرتکه به شکل‌های مختلف در قسمت‌هایی از دنیای قدیم و وسطی ظاهر گردید .


دستگاه شمار هندی-عربی

دستگاهِ شمارِ هندی-عربی به هندیان که احتمالا مخترعِ آن هستند و به اعراب که آن‌را به اروپای غربی انتقال دادند منسوب است . قدیمی‌ترین نمونه‌های محفوظ مانده از علایم عدیی امروزی، بررروی چند ستون سنگی که در حدود 250 ق.م به وسیله شاه آشوکا (Aŝoka) در هند برپا شدند ، یافت میشود . نمونه‌های قدیمی دیگری ، اگر به درستی تعبیر شده باشند در هند ، در آثاری که حدود 100 ق.م بر دیوارهای غاری در تپه‌ای نزدیکِ پونه (Poona) کنده شده‌اند و در بعضی کتیبه‌های حفاری شده متعلق به حدود سال 200 ب.م در غارهایی واقع در ناسیک (Nasik) پیدا شده‌اند . در این نمونه‌های قدیمی ، صفر وجود ندارد و در آنا از نمادگذاری موضعی استفاده نشده است . با این حال ارزش موضعی ، و نیز صفر ، می‌بایستی در زمان قبل از 800 ب.م در هند معمول شده باشد ، زیرا خوارزمی ، ریاضی‌دان ایرانی چنین صورت کاملی از دستگاه هندی را در کتابی متعلق به 825 ب.م شرح میدهد.


اینکه علایم شمار جدید ، چگونه و در چه زمانی برای اولین بار وارد اروپا شده‌اند، معین نیست . به احتمال قوی انتقال آنها توسط بازرگانان و سیاحانِ سواحل میدترانه صورت گرفته است . این علایم در یک دستنوشته‌ی اسپانیایی نتعلق به قرن دهم دیده میشوند و ممکن است به وسیله اعراب که در سال 711 ب.م به این شبه‌جزیره حمله کردند و سدها سال در آنجا ماندند، در اسپانیا معمول شده باشند . دستگاهِ کامل شده با ترجمه‌ی لاتینِ رساله‌ی خوارزمی در قرن دوازدهم و کارهای بعدیِ اروپائیان در اینباره به طور وسیعتری رواج یافت.


طی 200 سال پس از آن ، نزاعهایی بین طرفدارانِ چرتکه و الگوریست‌ها (algorisyt) ، نامی که به هواخاهانِ دستگاه جدید اطلاق میشد ، درگرفت و پیش از سال 1500 ب.م قواعد کنونی ما در محاسبات چیرگی یافتند . با گذشت سد سال دیگر ، طرفداران چرتکه تقریبا از یاد رفته بودند و با آغاز قرن هجدهم هیچ اثری از چرتکه در اروپای غربی دیده نمیشد. پیدایشِ مجددِ ان ، به عنوان یک تحفه ، مدیون پونسله (Poncelet) مهندس فرانسوی بود که بعد از آزاد شدن از زندانِ روسها ، که به دنبال لشکرکشی ناپلئون به روسیه بدان گرفتار شده بود، نمونه‌ای از آن را به فرانسه آورد.


علائم عددی قبل از آنکه با پیدایش صنعتِ چاپ تثبیت شوند، صورتهای مختلفی به خود گرفتند . کلمه زیرو (Zero) انگلیسی احتمالا از زفیروم که صورت لاتینی صر است گرفته شده است. و این کلمه به نوبه‌ی خود ترجمه‌ی سونیا (sunya)ی هندی به معنای «پوچ» یا «تهی» است . صفر عربی در قرن سیزدهم به صورت صیفرا (cifra) توسط نموراریوس (Nemorarius) واردِ آلمان شد که واژه‌ی واژه‌ی cipher انگلیسی با معنای صفر ، ماخوذ از آن است .
[ATTACH=CONFIG]1526[/ATTACH]


[TABLE="align: left"]
[TR]
[TD][/TD]
[TD][TABLE="width: 100%"]
[TR]
[TD]
[/TD]
[/TR]
[/TABLE]
[/TD]
[/TR]
[/TABLE]
طرفدار چرتکه در مقابل الگوریست (از گریگور رایش (Gregor Reisch)، مارگاریتا فیلوسفیکا (Margarita Philosophica) ، استراسبورگ، سال 1504 (

Dariush نوشته: دستگاه شمار هندی-عربی

دستگاهِ شمارِ هندی-عربی به هندیان که احتمالا مخترعِ آن هستند و به اعراب که آن‌را به اروپای غربی انتقال دادند منسوب است . قدیمی‌ترین نمونه‌های محفوظ مانده از علایم عدیی امروزی، بررروی چند ستون سنگی که در حدود 250 ق.م به وسیله شاه آشوکا (Aŝoka) در هند برپا شدند ، یافت میشود . نمونه‌های قدیمی دیگری ، اگر به درستی تعبیر شده باشند در هند ، در آثاری که حدود 100 ق.م بر دیوارهای غاری در تپه‌ای نزدیکِ پونه (Poona) کنده شده‌اند و در بعضی کتیبه‌های حفاری شده متعلق به حدود سال 200 ب.م در غارهایی واقع در ناسیک (Nasik) پیدا شده‌اند . در این نمونه‌های قدیمی ، صفر وجود ندارد و در آنا از نمادگذاری موضعی استفاده نشده است . با این حال ارزش موضعی ، و نیز صفر ، می‌بایستی در زمان قبل از 800 ب.م در هند معمول شده باشد ، زیرا خوارزمی ، ریاضی‌دان ایرانی چنین صورت کاملی از دستگاه هندی را در کتابی متعلق به 825 ب.م شرح میدهد.

چهره‌یِ امروزین‌ترین دستگاه شمارال[sup][aname="rpafd65b525b8014611a0d6c0bd9f56f5f5"][[/aname][anchor="pafd65b525b8014611a0d6c0bd9f56f5f5"]1][/anchor][/sup] هندی:

ساختارشناسی زبان پارسیک[sup][aname="rpa4fafa4bbe43a4d7bbf9f95d732ef82fb"][[/aname][anchor="pa4fafa4bbe43a4d7bbf9f95d732ef82fb"]2][/anchor][/sup] - برگه 2




०१२३४५६७८९




----
[aname="pafd65b525b8014611a0d6c0bd9f56f5f5"]1[/aname]. [anchor=rpafd65b525b8014611a0d6c0bd9f56f5f5]^[/anchor] Šomârâl || شمارال: شمارش; عددی Ϣiki-En Numeral
[aname="pa4fafa4bbe43a4d7bbf9f95d732ef82fb"]2[/aname]. [anchor=rpa4fafa4bbe43a4d7bbf9f95d732ef82fb]^[/anchor] Pârsik (pârs+ik) || پارسیک: زبان پارسیِ نزدیکتر به پهلویک D4f Persian persisch

دوستان، من تصمیم گرفتم برای جذابیتِ بیشترِ جستار و همچنین غنی‌تر شدنِ آن ، در پایانِ هر مبحث ، یک موضوع جانبی و جالب ارائه کنم . مثلا تصمیم گرفتم اکنون که فصلِ اول تمام شده ، تاریخچه‌ای از عدد پی بگویم . در پایانِ هر قسمت یکی از این مباحث را پیش میکشم .بعضی جاها احتمالا زندگی‌نامه و دستاورد‌های یکی از ریاضیدانانِ برجسته را مطرح کنم .

وای ریاضی خیلی خوبه.
من استعداد ریاضیم خوب بود، ولی چون اون موقع درست متوجه وسعت و اهمیت کاربردهای عملیش نبودم، خوب درس نخوندم.
الان میدونم که چقدر کاربرد داره.
البته جالبیش اینه که خیلی از این کاربردها از حاصل فعالیت های ریاضیدان های غیرکاربردی مدتها بعد بصورت تصادفی حاصل شده!!
مثلا ریاضیدان همینطور رفته یه موضوعی انتخاب کرده یا بازی کرده و یه رابطه ای درآورده که اون موقع خودش هم هیچ کاربرد غیرسرگرمی براش به فکرش نمیرسیده، بعد مثلا در دوران علوم مدرن و حتی دوران اتم، فضا، رایانه و اینترنت یهو یه دانشمند رایانه یا حتی مهندسی چیزی متوجه شده که اون معادله/روش یه کاربردی داره یا واسه حل یه مسئله ای نیازه!

منم به ریاضی همینطوریش هیچ علاقه ای ندارم.
از نظرم مثل شطرنجه که آدم دیگه باید خیلی بیکار باشه بازی کنه.
چون بنظر من باید وقت و انرژی رو روی اهداف کاربردی و اولویت های واقعی زندگی که زیاد هست اختصاص داد.
ولی وقتی ریاضیات کاربرد داشته باشه دوست دارم یاد بگیرم بخاطر کاربرد و قدرت استثنایی و بدون آلترناتیو که در بیشتر مسائل داره.
اما من هیچوقت مثل اون ریاضیدانها علاقمند کار فکریش نیستم و ترجیح میدم بجاش حتی ورزش کنم. تازه فکر هم روی خیلی چیزهای کاربردی تر میشه داشت.
اهمیت و عزت ریاضیات هم میشه گفت تاحد زیادی از استفاده ای که اون آدمهایی مثل من (یا حداقل اون افرادی که بغیر از ریاضی در چیزهای عملی تر هم علاقمند بودن/تخصص داشتن) از ریاضیات کردن حاصل شده. وگرنه بخش اعظم ریاضیات همینطور تئوریک و بدون کاربرد عملی باقی میموند.
کاربردهای عملی و افراد عملگرا حتی به گسترش و پیشرفت ریاضیات هم کمک کردن. ولی خداییش اگر اون ریاضیدانهای خوره که دنبال ریاضیات به صرف ریاضیات بودن نبودن، الان ما اینقدر پیشرفت در علم و فناوری مدرن نداشتیم.

راستی بنظر من روی موارد کاربردی و مدرن هم اگر تونستید کار کنید.
من مثلا فرمول RSA رو خوندم، ولی دقیقا ریاضیاتش رو بصورت اثبات و اینکه درک کامل و عمیق از رابطهء اعداد توی ذهنم باشه ندارم. دوست دارم رابطه رو توی ذهنم کاملا درک کنم که چرا اونطوریه.

folaani نوشته: وگرنه بخش اعظم ریاضیات همینطور تئوریک و بدون کاربرد عملی باقی میموند.

میتوان با اطمینان گفت که همه‌ی ریاضیاتِ تا یکسد سالِ پیش کاربردِ کاملا عملی دارند . پرمناقشه‌ترین‌شان اعدادِ موهوم و توابع مختلط بود که مدتها بر سرِ غیرکاربردی بودنشان بحث بود . امروز اما چنان در حوزه‌های مهندسی و علوم، کاربردی است که اگر نبود بخشی بزرگی از دست‌آوردهای تکنولوژیک از دسترسمان خارج بود . از جمله تجهیزهات رادیویی . از سد سال به اینسو نیز بازهم اکثرشان کاربردی بوده‌اند . آنهایی هم که نبوده‌اند ، تا کنون نبوده‌اند . در ثانی ، گسترش‌های جدیدی که در ریاضیات بوجود می‌آیند ، زیربنایی برای دست‌آوردهای جدید میشوند . مشکلِ ما اینجاست که هتا انتگرال هم برایمان بدون کاربرد مانده است . وگرنه در جهانِ مدرن، صنایع تشنه علوم هستند.

Dariush نوشته: میتوان با اطمینان گفت که همه‌ی ریاضیاتِ تا یکسد سالِ پیش کاربردِ کاملا عملی دارند . پرمناقشه‌ترین‌شان اعدادِ موهوم و توابع مختلط بود که مدتها بر سرِ غیرکاربردی بودنشان بحث بود . امروز اما چنان در حوزه‌های مهندسی و علوم، کاربردی است که اگر نبود بخشی بزرگی از دست‌آوردهای تکنولوژیک از دسترسمان خارج بود . از جمله تجهیزهات رادیویی . از سد سال به اینسو نیز بازهم اکثرشان کاربردی بوده‌اند . آنهایی هم که نبوده‌اند ، تا کنون نبوده‌اند . در ثانی ، گسترش‌های جدیدی که در ریاضیات بوجود می‌آیند ، زیربنایی برای دست‌آوردهای جدید میشوند . مشکلِ ما اینجاست که هتا انتگرال هم برایمان بدون کاربرد مانده است . وگرنه در جهانِ مدرن، صنایع تشنه علوم هستند.

این چیزا که گفتی خیلی مبهم بود برام.
اصلا متوجه نشدم با نظر بنده مخالفت کردی یا موافقت!!
خلاصه من نمیدونم. ولی چون مطالعه در فناوری های مدرن داشتم بخصوص در ویکیپدیا و بخصوص در زمینهء فناوری رایانه و برنامه نویسی و اینها، موارد تاحالا متعدد دیدم که ریاضیات خیلی قدیمی تر از خودشون توشون کاربرد داشته. خیلی از اینا بدون رایانه و اینترنت و این حرفا عملی نیستن؛ مثل رمزنگاری مدرن که بدون رایانه و دیجیتال ممکن نیست، چون آدم به هیچ وسیلهء دیگری نمیتونه اون همه محاسبات پیچیده رو با سرعت کافی و بدون خطا انجام بده. در نتیجه اصولا معنا و هدفی برای ایجاد چنین الگوریتم هایی و کار در حیطه های مورد نیازش در ریاضی وجود نداشته، اما میبینی طرف روی یه چیزی تئوریک کار کرده همینطور، و بعدا در علم رمزنگاری مدرن براش کاربرد پیدا شده.
خیلی از ریاضیاتی که در اینها استفاده میشه ظاهرا از مدتها قبل از دستیابی به فناوری رایانه، حداقل به شکلی که برای این کاربردها قابل استفاده باشه، وجود داشته.
مواردی دیدم که اصولا ریاضیات و قضایایی بوده که قبلش کسی کاربردی براش متصور نبوده. بعد مثلا برای کنترل ترافیک اینترنت ازش استفاده شده. برای کد کردن داده ها روی سیم، تشخیص خطا، مالتی پلکسینگ و غیره. اینا در زمان خودشون نمیتونستن کاربرد یا کاربردهای متعدد و چندان مهمی داشته باشن، چون بستر (عمدتا ابزارهای محاسباتی خودکار (الکترونیک) و رایانه ها) و نیازش وجود نداشته؛ ولی خیلی از فرمولها اون موقع کشف شدن.

البته شایدم من اشتباه میکنم.
بنظرم مثالهای واقعی باید بزنیم تا روشن بشه.
مثلا یکی از چیزهایی که من دیدم زیاد کاربرد داشته چیزهایی مثل Fourier transform بوده.
اینطور که ویکیپدیا نوشته، جناب Joseph Fourier در 1830 مرحوم شدن.
الان Fourier transform تاجاییکه دیدم خیلی در ارتباطات و الکترونیک و رایانه و فکر میکنم حتی ذخیره سازی کاربرد داره یا داشته (الان ممکنه در بعضی کاربردها روشهای پیشرفته تری ابداع شده باشه یا بعلت پیشرفت های فناوری بعضی کاربردهاش منقرض شده باشن).
حالا اون زمان ایشون این Fourier transform رو با چه انگیزه ای دقیقا اختراع کرده و آیا برای نیازهای صنعت بوده یا نه، بنده نمیدونم. ولی بعید میدونم برای رایانه و ارتباطات مدرن بوده باشه! اصلا اون موقع در این حد بستر و نیازش وجود داشته؟ فکر نمیکنم.
البته مثل اینکه کاربردهایی در فیزیک داشته (احتمالا بیشتر هم از نظر تئوریک)، ولی فکر کنم الان کاربردهاش خیلی بیشتر و مهمتر باشن درکل.
ضمنا اینم درنظر بگیرید که ایشون فقط ریاضیدان نبوده بهرحال، و یک فیزیکدان هم بوده و اینطور که از ویکیپدیا برداشت میشه، این اکتشافات ریاضی رو درواقع از طریق مشاهده و بررسی پدیده های فیزیک یا نیاز در فیزیک انجام داده. البته من دقیق نخوندم که مطمئن باشم. شما اگر واردید بررسی کنید.
این خودش نشون میده که این کاربردگراها هستن که بعضی اکتشافات مهم ریاضی رو انجام دادن.
حالا مهم منظورم همون مهم شدن ریاضی در نزد جمعیت عمومی تری از بشریته، وگرنه از نظر یک ریاضیدان محض لزوما زیاد هم مهم و جذاب نیستن اینطور چیزها. یک ریاضیدان محض، احتمالا حل شدن یک معمای ریاضی لاینحل قدیمی رو مهمتر میدونه از نظر ریاضی؛ ولو هیچ کاربردی در علوم دیگر و فناوری نداشته باشه. مسئله اینست!
مثلا چقدر این ریاضیدانها تاحالا روی این معماها وقت و انرژی صرف کردن، ولی یک کاربرد عملی برای یکیش فکر نمیکنم بوده باشه.
یه معما هم بوده که نمیدونم چند سال پیش یکی موفق شد حلش کنه. اندازهء چندتا تخته سیاه راه حل داشت!
اما بنظرم همین افراد بودن که خیلی از چیزهایی رو بوجود آوردن که بعدا براشون کاربرد پیدا شده.
البته الان دیگه یخورده روی نظر خودم شک کردم!
بهرحال من تخصصم ریاضی نیست و از تاریخش اطلاع زیادی ندارم، ولی با توجه به چیزهایی که در جریان مطالعات خودم در جهت موارد کاربردی خونده بودم اینطور استنباط کرده بودم که ماجرا از اون قراره (آنچه در پست اولم گفته بودم).
همین مسئله فکر میکنم در فیزیک هم خیلی رخ داده تاحالا.
چون یادمه توی فیلمهای مستند هم یه همچین مواردی که ریاضیدانی روی مسئله ای صرفا بصورت درون ریاضی کار کرده بوده و بعدا بطور تصادفی براش کاربرد عملی پیدا شده بود وجود داشت.

Dariush نوشته: دوستان، من تصمیم گرفتم برای جذابیتِ بیشترِ جستار و همچنین غنی‌تر شدنِ آن ، در پایانِ هر مبحث ، یک موضوع جانبی و جالب ارائه کنم . مثلا تصمیم گرفتم اکنون که فصلِ اول تمام شده ، تاریخچه‌ای از عدد پی بگویم . در پایانِ هر قسمت یکی از این مباحث را پیش میکشم .بعضی جاها احتمالا زندگی‌نامه و دستاورد‌های یکی از ریاضیدانانِ برجسته را مطرح کنم .

در این میان بهره‌گیری از ماشین رایانشیک Wolfram-Alpha نیز میتواند سودمند باشد: Wolfram|Alpha: Computational Knowledge Engine

Dariush نوشته: میتوان با اطمینان گفت که همه‌ی ریاضیاتِ تا یکسد سالِ پیش کاربردِ کاملا عملی دارند . پرمناقشه‌ترین‌شان اعدادِ موهوم و توابع مختلط بود که مدتها بر سرِ غیرکاربردی بودنشان بحث بود . امروز اما چنان در حوزه‌های مهندسی و علوم، کاربردی است که اگر نبود بخشی بزرگی از دست‌آوردهای تکنولوژیک از دسترسمان خارج بود . از جمله تجهیزهات رادیویی . از سد سال به اینسو نیز بازهم اکثرشان کاربردی بوده‌اند . آنهایی هم که نبوده‌اند ، تا کنون نبوده‌اند . در ثانی ، گسترش‌های جدیدی که در ریاضیات بوجود می‌آیند ، زیربنایی برای دست‌آوردهای جدید میشوند . مشکلِ ما اینجاست که هتا انتگرال هم برایمان بدون کاربرد مانده است . وگرنه در جهانِ مدرن، صنایع تشنه علوم هستند.

من آن اندازه خوشبین نیستیم به کاربرد فراگیر و بی چون و چرای مزداهیک, بیشترین کاربرد مزداهیک براستی تنها در خود اندیشیدن
است, اگرنه بزرگترین دستآودرهای دانشیک را نمونه‌وار مهندس‌ها (engineers) بدست آورده‌اند که مزداهیکِ آنرا بنگرید چیزی آنچنانی ندارد.

پس چه شد ادامه‌اش؟
من به این ریاضیات براستی عشق میورزم و برایم حقیقتا مایه خوشی است که در مورد تاریخ‌اش بدانم.

Fox نوشته: پس چه شد ادامه‌اش؟
من به این ریاضیات براستی عشق میورزم و برایم حقیقتا مایه خوشی است که در مورد تاریخ‌اش بدانم.

شوربختانه داریوش گرامی که رفت برای چند ماه دیگر, اینجا هم بگرایند[sup][aname="rpa164ae0207f3f4d0a91ac3c0afb462a8b"][[/aname][anchor="pa164ae0207f3f4d0a91ac3c0afb462a8b"]1][/anchor][/sup] تا آنزمان خاک بخورد!






----
[aname="pa164ae0207f3f4d0a91ac3c0afb462a8b"]1[/aname]. [anchor=rpa164ae0207f3f4d0a91ac3c0afb462a8b]^[/anchor] be+gerâyand::Begerâyand || بگرایند: احتمالا Ϣiki-En, Ϣiki-En likely; probably