Nevermore نوشته: یک روشی هم بود به نام روش نیوتن رافسون که سریع به جواب می رساند:
یک ایراد کوچولو دارد که اگر تابع در همسایگی ریشه مشتق پذیر نباشد نمی توان از این روش استفاده کرد.

گمان نکنم تضمینی برای سریع به جواب رسیدن وجود داشته باشد. آن هم اگر اصلا بتوانید به جواب برسید چون این روش ها برای به دست آوردن تقریبی از پاسخ، استفاده می شوند زمانی که راه مشخصی برای رسیدن به پاسخ تابع مورد نظر نداریم.

MEHDI نوشته: گمان نکنم تضمینی برای سریع به جواب رسیدن وجود داشته باشد. آن هم اگر اصلا بتوانید به جواب برسید چون این روش ها برای به دست آوردن تقریبی از پاسخ، استفاده می شوند زمانی که راه مشخصی برای رسیدن به پاسخ تابع مورد نظر نداریم.

اگر هدف شما حل مسائل فیزیکی باشد که بسیار راحت است.با یک حدس خوب در دو سه مرحله به جواب می رسید.در ثانی نیازی هم به محاسبات زیاد نیست.شما فرمول را می دهید به ماشین حساب دو سه بار enter را می زنید، کار تمام است.زمانی که به دو جواب یکسان پشت سر هم رسیدید،همان جواب مسئله است.بچه های مهندسی بسیار با این روش سر و کار دارند.
تقریب هم معمولا برای تابع های بسیار پیچیده است.ترکیب توابع نمایی و مثلثاتی و غیره، که در آنجا با یک اپسیلون 10 به توان مثلا منفی 6 می توانید به تقریب بسیار خوبی برسید.سرعت این روش نیوتن هم تا جایی که من می دانم بسیار بالاتر از روش های دیگر یافتن ریشه است(البته نه روش های معمولی مانند حل معادلات چند جمله ای).

Nevermore نوشته: اگر هدف شما حل مسائل فیزیکی باشد که بسیار راحت است.با یک حدس خوب در دو سه مرحله به جواب می رسید.در ثانی نیازی هم به محاسبات زیاد نیست.شما فرمول را می دهید به ماشین حساب دو سه بار enter را می زنید، کار تمام است.زمانی که به دو جواب یکسان پشت سر هم رسیدید،همان جواب مسئله است.بچه های مهندسی بسیار با این روش سر و کار دارند.
تقریب هم معمولا برای تابع های بسیار پیچیده است.ترکیب توابع نمایی و مثلثاتی و غیره، که در آنجا با یک اپسیلون 10 به توان مثلا منفی 6 می توانید به تقریب بسیار خوبی برسید.سرعت این روش نیوتن هم تا جایی که من می دانم بسیار بالاتر از روش های دیگر یافتن ریشه است(البته نه روش های معمولی مانند حل معادلات چند جمله ای).

من محاسبات عددی داشتم و با این روش آشنا هستم.
چنین مسئله ای که یک راه حل ریاضیاتی و فرمولی دارد را از همان روش به پاسخ می رسند. چنین مسئله ای برای دبیرستانی هاست و این ها اجازه ماشین حساب بردن به سرجلسه ندارند وگرنه اصلا چه نیازی به این روش هاست. اگر ماشین حساب داشته باشید که با دادن چنین تابعی،بلافاصله پاسخش را بهتان می دهد.
همان توابع پیچیده تر مثلثاتی و لگاریتمی را که راه حل ریاضیاتی مشخصی برای رسیدن به پاسخ نداریم، با استفاده از این روش ها و ماشین حساب حل می کنند و به تقریب مورد نظر مسئله می رسند.

MEHDI نوشته: من محاسبات عددی داشتم و با این روش آشنا هستم.
چنین مسئله ای که یک راه حل ریاضیاتی و فرمولی دارد را از همان روش به پاسخ می رسند. چنین مسئله ای برای دبیرستانی هاست و این ها اجازه ماشین حساب بردن به سرجلسه ندارند وگرنه اصلا چه نیازی به این روش هاست. اگر ماشین حساب داشته باشید که با دادن چنین تابعی،بلافاصله پاسخش را بهتان می دهد.
همان توابع پیچیده تر مثلثاتی و لگاریتمی را با استفاده از این روش ها و ماشین حساب حل می کنند و به تقریب مورد نظر مسئله می رسند.

درست است مهدی جان،
از این روش بیشتر در توابع پیچیده که نمی توان از راه های معمولی حل کرد استفاده می کنند.البته در بعضی از توابع چند جمله ای هم که توان کسری است به کار می آید،مثلا این معادله:
y^5/2-0.3924y-0.6542=0


پ.ن:خوشحالم بالاخره میان این همه برنامه نویس و بیولوژیست در این انجمن یکی هم از بچه های فنی پیدا شد.:e303:

مزدك بامداد نوشته: درستش هم این است که بگوییم که دو پاسخ دارد

البته یک جواب موهومی هم داره دیگه
t=i
i^2=-1

Philo نوشته: یک راه ساده دیگر هم هست (کنکوری!). مجموع ضرایب عبارت سمت چپ تساوی، برابر با صفر است. این خود نتیجه می دهد که عبارت یک فاکتور (t-1) دارد، با تقسیم عبارت بر t-1 عامل دیگر به دست می آید. عامل دیگر t^3-t^2+t-1 است که این هم باز مجموع ضرایبش صفر است و یک عامل t-1 دارد، با تقسیم این عبارت بر t-1 تجزیه کامل می شود.

آفرین، از این روش هم خوشم آمد.

kourosh_bikhoda نوشته: البته یک جواب موهومی هم داره دیگه
t=i
i^2=-1

درست است، بسته به اینکه پاسخ مزدائیک یا پاسخ کاربردی را از ما بخواهند.
[SIZE=3]•[/SIZE]
[SIZE=3][/SIZE][SIZE=3][/SIZE]

kourosh_bikhoda نوشته: البته یک جواب موهومی هم داره دیگه t=i i^2=-1

حالا که بحث به جاهای باریک کشیده شد جا داره اشاره کنم دو تا جواب موهومی داره معادله، t=i و t=-i.

Philo نوشته: حالا که بحث به جاهای باریک کشیده شد جا داره اشاره کنم دو تا جواب موهومی داره معادله، t=i و t=-i.

ایزد را سپاس که دیگر پاسخ های فراتری ندارد!
[SIZE=3]•[/SIZE]
[SIZE=3][/SIZE][SIZE=3][/SIZE]

مَرهایِ انگارین - imaginary numbers

انگارینی که انگارین نیست!

نویسنده: ایزاک آسیموف
ترزبان: مهربد وارسته


روزهاییکه هنوز یک بچه بودم و دانشگاه میرفتم, دوستی داشتم که هر روز با همدیگر ناهار میخوریم.
کلاس ساعت ١١ AM او همبودشناسی بود که من هرگز نمیرفتم و ساعت ١١ من افمارش که او
هرگز نمیرفت - از اینرو میبایستی یازده از هم جدا شده و دوازده همدیگر را میدیدم.

آنجور که رویدادهای آنروز رخداد, پرفسور همبودشناسی او دانشمندی بود که کارها را بسیار پُر کَر و فــرّ میانجامید و
هر روز پس از پایان کلاس دادگاه برپا میساخت. دانشجو‌هایِ کوشاتر نزد هم گردآمده و به خودنمایی‌هایِ استاد برای
پانزده باریکه‌ای بیشتر گوش میدادند, جوریکه در آن میان هم گهگاه چوبی زیر نام پرسش پیش میانداختند که خوراک زبانه‌هایِ آتشِ پیشگویِ بزرگ بشود.

از همینرو روزهاییکه سخنرانی افمارش من می‌پایانید میبایستی به اتاق همبودشناسی رفته و تا پایانِ دادگاه بردبارانه مینشستم.
یکبار زمانی درون شدم که پرفسور داشت برای دانشجویان هومنی را به دو گروه فربودگرایان و افسانه‌گرایان دسته‌میبست و
در دسته‌یِ افسانه‌گرایان او مزدائیگران به همراه چامه‌سرایان و دینشناسان جای‌میگرفتند. یک دانشجو آن میان میخواست بداند که چرا.

«مزدائیگرها» پرفسور چنین گفت, «افسانه‌گرا هستند چراکه به مَرهایی میباورند که از خود هستی ندارند.»

هر روز دیگری بود, من در جایگاه یکی از ناهموندان کلاس گوشه‌ای کزکرده و در
دلزنندگی‌ای خاموش میشکنجیدم, ولی اینبار آشفته برخاسته و گفتم: «چه مَرهایی؟!»

پرفسور سوی مرا نگریسته و و گفت: «ریشه‌یِ دوم ١-. این هیچ هستی‌ای ندارد. مزدائیگر‌ها
آنرا انگارین مینامند ولی میباورند که همزمان یکجور هستیِ جادومندانه‌ای هم دارد.»

«هیچ چیز جادومندانه‌ای درباره‌یِ آن نیست», من خشمگینانه گفتم. «ریشه‌یِ دوم ١- همان اندازه فربودین است که هر مَر دیگر.».

پرفسور لبخندید, سُهید که یک زنده اش را یافته که اکنون میتواند برای نمایش ابردُمی و ابرهوشمندی
اش با او دست و پنجه نرم کند (از آن روزگاه من خودم کلاس‌هایی داشته ام و میدانم که بباریکی چگونه سُهید).
نرم و ابریشم‌وار گفت, «ما اینجا یک مزدائیگر جوان داریم که میخواهد فربودیِ ریشه‌یِ دوم ١- را بپیاوراند. بیا مرد جوان, به من یک ریشهِ دوم ١- از این گچ را بده!».
من سرخ شدم, «خُب, ولی وایسید ... -».
«همینه» او گفت و دست اش را تکانید. ماموریت, چنانکه او میپنداشت, به انجام رسیده بود, بس تمیز و شیرین.

ولی من سدایم را بالا برده و گفتم: «میکنم, میکنم! من به شما یک ریشه‌یِ دوم ١- از گچ را خواهم دادم, اگرکه شما به من نیمی از گچ را نخست بدهید.».
پرفسور دوباره لبخندید و گفت, «بسیار خوب,», یک تکه گچ تازه را دو نیمیده و به من یک نیمه را داد. «اکنون نوبت توئه که به گفته‌ ات پایبند باشی.».
«آه, ولی بشکیبید,» من گفتم, «شما هنوز به گفته‌یِ خود اتان پایبند نبوده‌اید. این تنها یک تکه گچ
است که به من داده‌اید, نه یک نیمه گچ.». من گچ را با دست بلند کرده تا همه‌یِ کلاس ببینند. «آیا
همگی نخواهید گفت که این یک تکه گچ بیشتر نیست؟ بیگمان دو یا سه تکه که نیست.»

پرفسور اکنون دیگر نمیخندید. «نگه دار! یک تکه گچ اندازه‌یِ استانداردی دارد. چیزیکه تو در دست داری نیمی از اندازه‌یِ استاندارده.»
من گفتم, «اکنون شما دارید دیگر با کران‌نمایی‌هایِ دلخواه مرا گیر میاندازید. ولی هتـّا اگر من این را
بپذیرم, آیا شما آماده‌اید بگویید که این یک نیمه گچ است و نه یک ٠.٤٨ ام یا یک ٠.٥٢ ام؟ آنگاه
خود اتان را هم شایسته‌یِ گفتگو درباره‌یِ ریشه‌یِ دوم ١- میدانید, جاییکه درباره‌یِ یک دوم یک چیز هم نمیتوانید روشن سخن بگویید؟»

اینجا دیگر پرفسور آن آرامی اش را سراسر از دست داده بود و واپسین فرنود اش
سخنی پاسخ‌ناپذیر بود, «بزن بیرون!». من رفتم (خندان) و سپستر ایستادم تا دوست ام را در راهرو ببینم.

بیست سال از آن زمان گذشته و می‌انگارم که میباستی سرانجام این واپسین فرنود را بپایانم.


بگذارید با یک یکچندیِ ساده‌یِ جبر چون x+3=5 بیاغازیم. در این برگفت, x نماینده‌یِ مَری است
که زمانیکه جایگزین x شود, برگفت را یک یکچندیِ راستین میسازد. در این
باره‌یِ ویژه x میباستی برابرِ ٢ باشد, زیرا ٥=٣+٢ شده و اینچنین ما x را یافته‌ایم.

نکته‌یِ گیرا درباره‌یِ این راهکار این است که این تنها راهکار باشنده است. مَر
دیگری بجز ٢ نیست که ٥ بدهد زمانیکه ٣ به آن افزوده میشود.
این روند برای هر پرسمان از این دست پابرجا است, که «یکچندیِ رژگین» خوانده میشود (زیرا
در هندسه میتواند به چره‌یِ یک رژ راست بازنمود شود) یا «یکچندیِ چندنامین یک زینه‌این». هیچ
یکچندی نامین زینه‌یکمی نیز نیست که هرگز بیشتر از یک پاسخ برای x داشته باشد.
یکچندی‌هایِ دیگری هستند هر آینه که میتوانند بیشتر از یک پاسخ داشته باشند. این یک نمونه است:
جاییکه (x چارگوش یا x چارگوشیده) نماینده‌یِ x بار در x میباشد. این «یکچندی چارگوشیک»
خوانده میشود, زیرا دربرگیرنده‌یِ چارگوش x میباشد. همچنین این را «یک چندنامین زینه‌دوم» نیز مینامند
از روی این دو کوچک در #. برای خود x نیز, میتواند # نوشته شود بجز اینکه بخش ١ همواره چشمپوشی
شده و باشنده انگاشت میشود. از همینروست که x+3=5 یکچندی‌ای زینه‌یکم میباشد.
اگر ما یکچندی را بگیریم و ٢ را بجای x بگذاریم, آنگاه ٤ خواهد بود, چراکه 5x برابر 10
میباشد و پس یکچندی خواهد شد , که درست بوده و 2 را یک پاسخِ یکچندی میسازد.

هر آینه اگر ما ٣ را برای x بگزینیم, آنگاه ٩ خواهد شد و 5x برابر ١٥ که
یکچندی را خواهد ساخت , که همچنین درست است و ٣ را دومین پاسخ این یکچندی میسازد.

تاکنون هیچ یکچندیِ زینه‌دومی پیدا نشده که بیش از دو پاسخ داشته باشد, ولی یکچندی‌هایِ
چندنامین زینه‌سوم چه؟ اینها یکچندی‌هایی هستند که # در خود دارند (x کاب یا x کابیده), که از
همینرو «یکچندی‌هایِ کابیک» خوانده میشوند. برگفت x در x در x را بازمی‌نمایاند.
یکچندی سه پاسخ دارد, از آنجاییکه میتوانید ١, ٢ یا ٣ را جایگزین x در این یکچندی نمایید
و با یک برابری راستین در هر سه باره روبرو باشید. هیچ یکچندی کابیکی هرگز یافت نشد که هر آینه بیش از سه پاسخ داشته باشد.

به همان شیوه که یکچندی‌هایِ نامین زینه‌چهارم چهار پاسخ دارند, ولی نه بیشتر; یکچندی‌هایِ چندنامین
زینه‌پنجم, که پنج پاسخ دارند و نه بیشتر و همینجور به پیش. میشاید که پیش خود اتان آنگاه بگویید
که یک یکچندی چندنامین زینهnام میتواند به n شمار پاسخ داشته باشند, ولی نه بیشتر از n.

مزدائیگر‌ان چیزی هتّا زیباتر از اینرا آرزو میکردند و نزدیک سال ١٨٠٠ نیز آنرا یافتند. در آن زمان,
مزدائیگر آلمانی کارل فردریش گاووس, نمایاند که هر یکچندی زینهnام بباریکی n پاسخ دارد, نه تنها نه بیشتر, که نیز نه کمتر.
هر آینه برای اینکه فربین بُنیادین درست دربیاید, دریافت ما از آنچه یک پاسخِ یکچندی جبری به شمار میرفت میباید شدیدا دگرانیده میشد.

برای آغازی, مردم پذیرفته‌اند که «مَرهایِ پرهامین» هستند: ١, ٢, ٣ اود چون به پیش.
این دسته فراخور شمارش چیزهاییکه یکاها نامیده میشوند هستند. شما میتوانید ٢ تا بچه, ٥ تا گاو یا ٨
تا دیگ داشته باشید; هنگامیکه داشتن 21/2 بچه, 5*1/4 گاو یا ٤٣*١/٥ دیگ چَم چندانی نمیدهد.

در اندازه‌گیریِ چنتاد‌هایِ پیوسته همچون درازا یا سنگینی هر آینه, برخه‌ها بایا میشوند. مصریان و
بابلیان شگرد‌هایی برای کار با برخه‌ها دست و پا کرده بودند, گرچه با استاندارد‌هایِ امروزین ما چندان
بهینه به شمار نمیروند; و بیگمان دانشپژوهان محافظه‌کاری هممیان آنان بوده‌اند که به آن مزدائیگر‌انی که به
مَری مانند میباوریده‌اند نیشخند میزده‌اند, مَری که نه ٥ است نه ٦.

چنین برخه‌هایی در فربود برخِ مُرهایِ بیخُرده هستند. اینکه بگوییم یک تخته چوب 2 و 5/8 یارد است
برای نمونه, برابر گفتن این است که اندازه‌یِ یک تخته چوب به اندازه‌یِ استاندارد یاردتخته چنان است که ٢١ به ٨.
یونانیان هر آینه, وایافته بودند که چنتاد‌هایِ ویژه‌ای هستند که نمیتوان آنها را چون برخ مَر‌هایِ بیخُرده نوشت.
نخستین مری از این دست که وایافت شد ریشه دوم ٢ بود — بیشتر به چهره‌یِ # نوشته شود —
که مَری است که, زمانیکه بس‌شمرده‌یِ خود اش میشود, ٢ میدهد. همچون
مَری هست ولی نمیتواند چون یک برخ برگفته شود; از اینرو, این مَری‌ست گُنگ.

دریافت مَر تا زمانه‌هایِ نوین تا همینجا بیشتر گسترش نیافت. از اینرو, یونانیان پذیرفته بودند
که مَری کوچکتر از صفر نیست. چگونه میتواند چیزی از کمتر از هیچ باشد؟ برای آنها, در دنبال,
یکچندی x+5=3 پاسخی نداشت. چگونه میتوانید ٥ را به مَری بیافزایید و ٣ را در برآیند بگیرید؟
هتّا اگر ٥ را به کوچکترین مَر نیز (که صفر باشد) بیافزایید, همچنان ٥ را در جایگاه الفنج خواهید
داشت و اگر ٥ را به هر مَر دیگری بیافزایید (که باید بزرگتر از صفر باشد) همچنان الفنجی بزرگتر از ٥ خواهید داشت.

نخستین مزدائیگر که این تابو را شکسته و بهرش سامانیک از مَر‌هایِ کمتر از صفر را روا نمود
مزدائیگر ایتالیایی Girolamo Cardano بود. هر چه باشد, چیزی کمتر از هیچ هم میتواند باشد. یک بدهکاری برای نمونه چیزی کمتر از هیچ است.
اگر همه‌یِ آنچه شما در این جهان دارید یک وام دو دلاری باشد, شما دو دلار کمتر از هیچ دارید. آنگاه
اگر پنج دلار بهتان داده شود با ٣ دلار از آنِ خود خواهید ماند (با این انگاشت که آدمی درستکار بوده و وام اتان را میپردازید).
از همینرو, در یکچندی x, x+5=3 میتواند برابر با ٢- باشد, جاییکه نماد نائین میگوید مَر کمتر از صفر است.

چنین مَر‌هایی «مَر‌هایِ نائین» خوانده میشوند که ریشه‌یِ واژه‌یِ negative آن از لاتین به چَم
«وَرسوریدن» میاید, پس خودِ خود نام رّد پاهایی از ورسورش یونانین از هستیِ چنین مَرهایی را
دربر دارد. مَر‌هایِ بزرگتر از صفر «مَرهای بائین» خوانده میشوند و این دسته میتوانند به چهره‌یِ ١+, ٢+, ٣+ اود چنین پیش نوشته شوند.

از دیدگاهی کاربردگرایانه, گسترش سامانه‌یِ مرها با دربرگیراندن مَر‌هایِ
نائین بسیاری از رایانش‌ها را میسادد; نمونه‌یِ خوب آنهاییکه وابسته به دفترداری باشند.
از دیدگاهی نگره‌این, کاربرد مَرهای نائین اینجور میچمد که همه‌یِ یکچند‌هایِ زینه‌یکم تنها و تنها یک پاسخ دارند. نه بیشتر; نه کمتر.
اگر ما به یکچندی‌ای زینه‌دوم برویم, میابیم که یونانیان با ما همداستان هستند که یکچندی دو پاسخ دارد. ٢ و ٣.

آنان خواهند گفت هر آینه, که یکچندیِ تنها یک پاسخ دارد, ١. ١ را با x جایگزیده و میشود
یک, هنگامیکه ٤x ٤ است, پس یکچندی میشود 1+4-5=0. هیچ مَر دیگری نمیتواند در جایگاهِ
پاسخ به کار رود, تا زمانیکه خود اتان را به مَر‌هایِ بائین مرزمندیده باشید.
هر آینه, مَر ٥- یک پاسخ است, اگر ما یک چند تایی قانون که در پیوند با بس‌شمار مَر‌هایِ نائین به
کار بسته میشوند را بنگرشیم. برای داشتن رفتارهایی سازگار, مزدائیگر‌ها گزیریده‌اند که بس‌شمار
یک مر نائین در یک مر بائین فرآورده‌ای نائین بدست میدهد, هنگامیکه بس‌شمار یک مر نائین بدر یک مر نائین فرآورده‌ای نائین.
اگر, در یکچندی , ٥- جایگزین x بشود, آنگاه میشود ٥- در ٥- یا ٢٥+, هنگامیکه ٤x میشود ٤+
در ٥-, یا ٢٠-. یکچندی خواهد شد ٢٥-٢٠-٥=٠, که درست است. ما میتوانیم بگوییم, آنگاه, که دو پاسخ برای این یکچندی میباشد, ١+ و ٥-.

گاهی, یک یکچندی چارگوش براستی اینجور میسَهد که تنها یک ریشه داشته باشد, برای نمونه, ,
که یک برابری‌ای درست خواهد بود اگر و تنها اگر مَر ٣+ جایگزین x شود. هر آینه, سازوکارهایِ پاسخ‌هایِ
یکچندی نشان میدهد که فرهودانه دو پاسخ, که پیشآمدانه یکسان میباشند, را دارد. از اینرو,
میتواند به واگشته و هر کدام از (x-3)‌ها یک پاسخ بدست دهند. دو پاسخ یکچندی از اینرو خواهند بود, ٣+ و ٣+.

با جسته گریخته پروانه‌دهیِ به پاسخ‌هایِ تکراریِ, آیا ما آماده‌ایم بگوییم که همه‌یِ
یکچندی‌هایِ زینه‌دوم میتوانند نشان داده شوند که بباریکی تنها دو پاسخ دارند, اگر که مرهایِ نائین در سامانه‌یِ مرها گنجانیده شوند؟

افسوس که نه! چه درباره‌یِ یکچندی . برای آغاز, باید ١- باشد, زیرا جایگزینی ١- برای
یکچندی را ١-+١=٠ میسازد, که بسنده درست است ولی اگر ١- است, پس x باید ریشه‌یِ دوم
سرآوازه‌یِ ١- باشد, که دستمایه‌یِ زد-خورد میان پرفسور همبودشناسی و من بود. ریشه‌یِ دوم نائینْ یک
مری‌ست که هنگامیکه در خودش بس‌شمرده شود خواهد داد ١-. ولی همچو مری در انبوهه‌یِ
چنتاد‌هایِ بائین و نائین نیست و این همان فرنودی‌ست که پرفسور
همبودشناسی خُرد‌ه‌می‌گرفت; نخست, ١+ در ١+ هست ١+; دوم, ١- در ١- هست ١+.

برای داشتن هرگونه پاسخی برای یکچندیِ #, دو تایش بماند, بایا ست که از این راهبند بازدارنده رد شویم.
اگر نه هیچ مر بائین و نه نائین کار میکند, پس اَوَستانه بایسته است که یک گونه‌یِ نوین از مَرها را
کران‌بنماییم; یک مر انگارین, اگر که میدوسید; مَری که چارگوش آن میشود ١-.
ما میتوانیم, اگر میخواستیم, به این مَر نوگونه نمادِ ویژه‌ای ببخشیم. نماد + برای بائین‌ها کار میکند
و نماد - برای نائین‌ها; پس میتوانستیم از ستاره برای نمایش نو-مَر بهریسته و بگوییم ١* (ستاره یک) در ١* برابر است با ١-.

هر آینه, اینگونه نماد گزیده نشد. بجایش, نماد i (برای imaginary) ازسوی مزدائیگر
سوئیسی Leonhard Eulore در ١٧٧٧ شناسانده شد و از آن زمان کمابیش همین به کار میرود. پس ما میتوانیم بنویسیم یا .
با کران‌نماییِ i در این چهره, ما میتوانیم ریشه‌یِ دوم هر مر نائین را داشته باشیم.
برای نمونه, میتواند در نوشته شود, یا ٢i. رویهمرفته ریشه‌یِ دوم هر مَر نائین ,
میتواند به چهره‌یِ ریشه دوم مَر بائین همارزْ در ریشه‌یِ دوم نائین یک نوشته شود; این باشد:

با این روش, ما میتوانیم یک دنباله‌یِ نویی از مَر‌هایِ انگارین را همانند مَر‌هایِ راستین
پیش چشم بیآوریم, برای ١, ٢, ٣, ٤, ... ما میتوانیم i, ٢i, ٣i, ٤i و ... داشته باشیم. این دربرگیرنده‌یِ
برخه‌ها نیز خواهد بود, که میتواند با همخوانده شود; با اود چنین پیش. این میتواند
دربرگیرنده‌یِ مر‌هایِ گنگ نیز باشد, چه که با همخوانده میشود و هتا مری چون π با πi.
همه‌یِ اینها همسنجی‌هایی میان مرهای بائین با انگارین هستند. مرهای نائین ولی چه؟ خب,
چرا انگارین‌هایِ نائین نه؟ برای ١-, ٢-, ٣-, ٤-, ... خواهد بود i-, -2i, -3i, -4i, ...

پس اکنون ما چهار رده از مرها را کران‌نموده ایم:

با کاربرد این سامانه‌یِ افزونیده مرها, ما میتوانیم دو پاسخ بایای یکچندیِ # را پیدا کنیم.
آنها i+ و i- هستند. نخست i+ در i+ می‌برابرد 1-, و دوم i- در i- میبرابرد 1-, پس در هر باره, یکچندی میشود:

-1+1=0

که یک برابریِ درست است.

در رخکرد, شما میتوانید از سامانه‌یِ افزونیده‌یِ مرها برای یافتن همه‌یِ چهار پاسخ یکچندی‌ای
همچون # ببهرید. پاسخ‌ها میباشند ١+, ١-, i+ و i-. برای نمایش این, میبایستی به
یاد آوریم که هر مَری به توان چهارم رسیده برابر است با چارگوش آن مَـرْ بس‌شمار خودش. این باشد, می‌برابرد در .

اکننون بگذارید هر کدام از پاسخ‌هایِ پیشنهادین را در یکچندی‌ها جایگزینیم:


...
#
همه‌یِ چهار پاسخ یافته, زمانیکه در یکچندیِ جایگزین میشوند, برگفت را میدهند که درست میباشد.

سخن از اینها برای یک مزدائیگر میتواند بسیار روشن پیش‌پاافتاده باشد. تا زمانیکه یک
چنتادِ کراننموده میتواند در دستگاهی قانونمند به کاررود و به هیچ پادستیز دیگری در سامانه‌یِ
مزدائیک نیانجامد, مزدائیگر خوشنود خواهد بود. او براستی اهمیتی نمیدهد که این "چه" میچمد.
مردم هام در دست دیگر ولی میدهند; این جایی‌ست که ناروایِ همبودشناس به جادوجنبلگراییِ مزدائیگر‌ها ریشه‌میگرد.

با این همه از آسانترین کارهای این جهان‌ست که این مرهای چنین-خوانده "انگارین" را در کاری فرزامانه راستین و منسجم داشته باشیم.
تنها رژی ستانیک را پیش چشم آورید که با یک رژ ستونیک بُریده میشود و تیل برخورد را ٠ بنامید. نون شما چهار
رژ دارید که در راست‌گوشه‌هایی دوسره دارند پرتو‌میافکنند. میتوانید این رژ‌ها را برابر با چهار گونه‌یِ مَرها بگیرید.
اگر رژی که بسوی راست پرتومیافکند در بازه‌هایی یک‌اندازه نشانه‌بخورد, نشانه‌ها میتوانند به ١+, ٢+, ٣+, ٤+, ... اود چنین پیش
مَریده شوند تا هر آن شماری که دوست داریم, اگر که تنها رژ را بسنده بدرازانیم. اندرمیان نشانه‌ها نیز همه‌یِ برخه‌ها و مرهای گنگ
جای‌میگیرند. در رخکرد, میتواند نمایانده شود که به هر تیل روی چنین رژی تنها و تنها یک مر راستین بائین می‌همپتوازد, و برای
هر مر راستین بائین تنها و تنها یک تیل روی رژ باشنده است.

رژی که بسوی چپ پرتومیافکند نیز همانندانه میتواند با مرهای راستین نائین نشانه‌بخورد, چنانکه رژ ستانیک
میتواند «آسه‌یِ راستین-مر» نگرشیده بشود: دربرگیرنده‌یِ جفت بائین‌ها و نائینها.
بهمانند, رژی که به بالا پرتومیافکند میتواند با مرهای انگارین بائین نشانه‌بخورد, و رژی که به
پایین میرود با مرهای انگارین نائین. رژ ستونیک آنگاه آسه‌یِ انگارین-مر است.

بیاندیشد که که مر‌هایِ دگرسان را نه با نشانه‌ها و نماد‌هایِ معمول, بساکه با راستایی که رژ
نشانه میرود برچسب میزنیم. رژ راستسویِ مر‌هایِ راستین بائین, میتواند خورآی خوانده شود از
روی راستایی که روی یک بومنگاره‌یِ معمولی به آن داده میشود. رژ چپسویِ مر‌هایِ راستین نائین
میتواند «خوربر» خوانده شود; رژ «ulih (بالاسوی)» انگارین‌هایِ بائین شمال خواهد بود; رژ «negunih (پایین‌سوی)» نیز نیمروز خواهد بود.

نون اگر ما بپذیریم که ١+ در ١+ هست ١+ و اگر ما روی نشانه‌هایِ سرگاه نما بنگرشیم,
چنانکه من کران‌نمودم اشان, ما داریم میگوییم که خورآی در خورآی میشود خورآی, خوربر در خوربر
میشود خورآی. دوباره چراکه ١- در ١- میشود ١+. آنگاه, از آنجاییکه i+ در i+ میشود ١- و
همچنین i- در i- نی, آنگاه شمال در شمال خواهد شد خوربر و نیمروز در نیمروز نیز همچنین.

ما میتوانیم همینجور آمایش‌هایِ دیگری همچون ١- در i+, که میشود i- را نیز داشته باشیم (زیرا بائین در
نائین فرآورده‌ای نائین میدهد هتّا زمانیکه انگارین باشد), پـس خوربر در شمال میشود نمیروز. اگر ما همه‌یِ
آمایش‌هایِ شایند را چون تیل‌هایِ سرگاه نما فهرست بسازیم, سامانه‌یِ زیر را میتوانیم داشته باشیم:

[table="width: 500, align: left"]
[tr]
[td]E×E=E[/td]
[td]E×S=S[/td]
[td]E×W=W[/td]
[td]E×N=N[/td]
[/tr]
[tr]
[td]S×E=S[/td]
[td]S×S=W[/td]
[td]S×W=N[/td]
[td]S×N=E[/td]
[/tr]
[tr]
[td]W×E=W[/td]
[td]W×S=N[/td]
[td]W×W=E[/td]
[td]W×N=S[/td]
[/tr]
[tr]
[td]N×E=N[/td]
[td]N×S=E[/td]
[td]N×W=S[/td]
[td]N×N=W[/td]
[/tr]
[/table]

اینجا یک الگوی بسیار آراسته و شسته رفته داریم. بسشمار هر تیل سرگاه‌نما در خورآی دست نخورده میماند,
پس خورآی در جایگاه بسشمار یک چرخش °٠ را میدهد. در دست دیگر, هر تیل سرگاه‌نما در خورآی °١٨٠ (از روبرو)
میچرخد. شمال و نمیروز نماینده‌یِ چرخش‌هایِ راست-گوش هستند. بس‌شمار ازراه نیمروز به چرخشی °٩٠ ساعت‌گرد
میانجامد; هنگامیکه بس‌شمار ازراه شمال به چرخشی °٩٠ ولی پادساعتگرد.

اینچنین رخ‌میدهد که راستایِ نادگرنده آسانترین آرایش را دارد, پس خورآی (مرهای راستین بائین) برای
روان آسانتر و آساینده‌تر هستند. خوربر (مرهای راستین نائین) که فرآورده‌ای وارونه میدهند نیز در همین
ترازها, کمتر آساینده, ولی نه چندان هم سخت. شمال و نمیروز (مرهای انگارین), که شما
را به راستایی ازبیخ نو میفرستند هستند که از همه کمتر آسان میباشند.

ولی نگریسته چون تیل‌هایِ یک سرگاه‌نما, میتوان دید که هیچ انبوهه‌ای از مرها "انگارین‌تر" یا بخواهیم گفته باشیم, راستین‌تر از دیگری نمیباشند.






پارسیگر